Ta có :
\(p\) là số nguyên tố \(>3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\) \(\left(k\in N\right)\)
+) Nếu \(p=3k+1\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=\left(9k\right)^2+6k\) \(⋮3\rightarrow\) ta có \(đpcm\)
+)Nếu \(p=3k+2\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=\left(9k\right)^2+12k⋮3\) \(\rightarrow\) ta có \(đpcm\)
Vậy \(p\) là số nguyên tố \(>3\) thì \(p^2-1⋮3\rightarrowđpcm\)
Vì \(p\) là số nguyên tố mà \(p>3\) nên \(p\) không chia hết cho \(3\)
Ta xét ra 2 trường hợp như sau:
* p : 3 dư 1
Có: \(p=3k+1\) ( k \(\in\) N* )
\(p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)-1\)
\(=3k\left(3k+1\right)+\left(3k+1\right)-1=9k^2+3k+3k+1-1\)
\(=9k^2+6k=3\left(3k^2+2k\right)⋮3\) ( 1 )
* p : 3 dư 2
Có: \(p=3k+2\) ( k \(\in\) N* )
\(p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)-1\)
\(=3k\left(3k+2\right)+2.\left(3k+2\right)-1=9k^2+6k+6k+4-1\)
\(=9k^2+12k+3=3\left(3k^2+4k+1\right)⋮3\) ( 2 )
\(\Rightarrow\) Từ ( 1 ) và ( 2 ), ta có điều phải chứng minh
