Question

CMR: Nếu n là số tự nhiên, n>1 thì \(2^n-1\) không là số chính phương

Answer 1

Giả sử \(2^n-1\) là số chính phương \(\Rightarrow2^n-1=a^2\)

Ta thấy: \(2^n\) chẵn \(\Rightarrow2^n-1\) lẻ \(\Rightarrow a^2\) lẻ\(\Rightarrow a^2\equiv1\left(mod8\right)\)

Xét \(n=2\Rightarrow2^2-1=3\)(không thỏa mãn)

\(n\ge3\Rightarrow2^n⋮8\Rightarrow2^n-1\equiv7\left(mod8\right)\)

Mà \(a^2\equiv1\left(mod8\right)\)\(\Rightarrow\) mâu thuẫn\(\Rightarrow2^n-1\) không là số chính phương