Chương 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Pham Tien Dat

CMR : \(\left(C^1_{2022}\right)^2-\left(C^2_{2022}\right)^2+\left(C^3_{2022}\right)^2-...+\left(C^{2021}_{2022}\right)^2-\left(C^{2022}_{2022}\right)^2=C^{1011}_{2022}+1\)

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 4 tháng 1 lúc 23:56

Lời giải:

Ta sẽ đi CM đẳng thức tổng quát:

\((C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+(C^3_{2n})^2-....+(C^{2n-1}_{2n})^2-(C^{2n}_{2n})^2=C^n_{2n}+1\) với $n$ lẻ.

Theo nhị thức Newton ta có:

\((x^2-1)^{2n}=C^0_{2n}-C^1_{2n}x^2+C^2_{2n}x^4-....-C^n_{2n}x^{2n}+...+C^{2n}_{2n}x^{4n}\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là $-C^n_{2n}$

Tiếp tục sử dụng nhị thức Newton:

\((x^2-1)^{2n}=(x+1)^{2n}(x-1)^{2n}=(C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n})(C^0_{2n}x^{2n}-C^1_{2n}x^{2n-1}+C^2_{2n}x^{2n-2}-...+C^{2n}_{2n})\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là

\((C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

Do đó:

\(-C^n_{2n}=(C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

\(\Leftrightarrow -C^n_{2n}=1-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

\(\Leftrightarrow (C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+...-(C^2_{2n})^2=1+C^n_{2n}\) 

Thay $n=1011$ ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Loading...