Câu hỏi của Nguyễn Linhtitanian

Question

CMR: $^{a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc}$ với mọi giá trị của a, b, c

Tâm Trần Huy · Accepted Answer

giả sử $a^2+b^2+c^2\le ab+ac+bc$

suy ra $2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le2\left(ab+ac+bc\right)$

$\Rightarrow a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2\le2ab+\
2ac+2bc$ (1)

ta có $\left(a+b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\
\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$ (2)

tương tự ta cũng có$a^2+c^2\ge2ac\
b^2+c^2\ge2bc$ (3)

từ (2) và (3) suy ra hệ thức (1) vô lí

suy ra $a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$ với mọi a;b;cCâu trả lời: giả sử $a^2+b^2+c^2\le ab+ac+bc$

suy ra $2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le2\left(ab+ac+bc\right)$

$\Rightarrow a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2\le2ab+\
2ac+2bc$ (1)

ta có $\left(a+b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\
\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$ (2)

tương tự ta cũng có$a^2+c^2\ge2ac\
b^2+c^2\ge2bc$ (3)

từ (2) và (3) suy ra hệ thức (1) vô lí

suy ra $a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$ với mọi a;b;c

Ôn tập: Phương trình bâc nhất một ẩn