Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nấm nhỏ

chứng minh rằng:\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) mọi a thuộc r (giúp mk với ạ)

Nguyễn Ngọc Lộc
20 tháng 3 2020 lúc 21:24

Ta thấy : \(a^2\ge0\forall a\)

=> \(a^2+2\ge2\forall a\)

\(\sqrt{a^2+1}>0\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) ( đpcm )

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thành Trương
20 tháng 3 2020 lúc 21:30

\(\begin{align} & \frac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\forall a\in \mathbb{R} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+1 \right)-2\sqrt{{{a}^{2}}+1}+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{a}^{2}}+1}-1 \right)}^{2}}\ge 0 \text{(luôn đúng)} \\ \end{align} \)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thành Trương
20 tháng 3 2020 lúc 21:32

CÁCH KHÁC:

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

\(\dfrac{{{a}^{2}}+2}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\dfrac{{{a}^{2}}+1+1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=\sqrt{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{{{a}^{2}}+1}.\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}}=2\left( dpcm \right)\)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
20 tháng 3 2020 lúc 21:34

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a^2+2=(a^2+1)+1\geq 2\sqrt{a^2+1}$

$\Rightarrow \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\geq \frac{2\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=2$

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a^2+1=1\Leftrightarrow a=0$

Khách vãng lai đã xóa
Trần Minh Hoàng
20 tháng 3 2020 lúc 21:34

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{\left(a^2+2\right)^2}{a^2+1}\ge4\) (Do \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}>0\forall a\in R\))

\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)

\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 0.

Vậy ta có đpcm.

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Măm Măm
Xem chi tiết
Nguyễn Xuân Đình Lực
Xem chi tiết
Kiều Vũ Minh Đức
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
nấm nhỏ
Xem chi tiết
Sakura Niato
Xem chi tiết
ITACHY
Xem chi tiết
TFBoys
Xem chi tiết
Ánh Right
Xem chi tiết