Lời giải:
Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}-2\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b$ dương )
Do đó BĐT đã cho luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
Ta có: a > 0, b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>0,\dfrac{b}{a}>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\dfrac{b}{a}}=2\)
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương \(\dfrac{a}{b},\dfrac{b}{a}\) ta được:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
\(\to\) Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\)
\(\to a^2=b^2\)
\(\to a=b\) (a,b>0)
