Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-d}{c-d}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\left(a+b\right).\left(c-d\right)=\left(a-b\right).\left(c+d\right)\)
Chia hai vế cho \(\left(a-b\right).\left(c-d\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right).\left(c-d\right)}{\left(a-b\right).\left(c-d\right)}=\frac{\left(a-b\right).\left(c+d\right)}{\left(a-b\right).\left(c-d\right)}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\)
Ta có : \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow ac-ad+ba-bd=ab-bc+ad-db\) (luôn đúng)
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{\left(a+b\right)}{\left(c+d\right)}=\frac{\left(a-b\right)}{\left(c-d\right)}\)
Tiếp dụng áp dụng tính chất trên ta có :
\(\frac{\left(a+b\right)}{\left(c+d\right)}=\frac{\left(a-b\right)}{\left(c-d\right)}=\frac{\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)}=\frac{c+d}{\left(c-d\right)}\)