Question

Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kì luôn chọn được hai số gọi là a, b sao cho a²-b² chia hết cho 60

Answer 1

a, b có vai trò như nhau G/S a>b

ta có \(a^2\) - \(b^2\) chia hết cho 60=>có chữ số tận cùng là 0. Mà a,b >0

=> a và b có cùng chữ số tận cùng .(1), và \(a^2\equiv b^2\)(mod 3,4,5)=>a\(\equiv\) b ( mod 3,4,5)

=> a>b>5

(vì nếu b=5 thì a>5 và có chữ số tận cùng là 5 vì a đồng dư với b theo mod 5 ,nhưng a là số nguyên tố. => b khác 5,chứng minh tương tự khi b=3)

mà a,b >2 => a,b có cùng chữ số tận cùng là {1,3,5,7,9}

mà a và b nằm trong 11 số nguyên tố bất kì. Suy ra có ít nhất 2 số có cùng chữ số tận cùng chữ số tận cùng

(giải thích vì nếu trong 11 số nguyên tố bất kì ko có số nào có cùng sô tận cùng thì phải có tới 11 chữ số tận cùng khác nhau. Vô lí)

Vậy đpcm.....

Answer 2

bài này mk nghĩ là như thế vì chỉ cần chứng minh trong 11 số nguyên tố bất kì luôn có 2 số có cùng chữ số tận cùng thì hiệu 2 bình phương của 2 số đó luôn chia hết cho 3 vì a, b không chia hết cho 3 => a bình , b bình đòng dư với 1 khi chia 3. và 2 số cũng luôn chia hết cho 4 vì (a+b)(a-b) là tích 2 số lẻ hơn thế nữa khi cm đc trong 11 số nguyên tố bất kì luôn có 2 số có cùng chữ số tận cùng thì a bình và b bình cũng có cùng chữ số tận cùng => hiệu sẽ chia hết cho 5. tổng hợp lại Suy ra nó chia hết cho 5