Gọi phân số thỏa mãn đề bài là : \(\dfrac{a}{b}\) (a,b \(\in\) N*)
Vai trò a, b như nhau, giả sử a \(\ge\) b => a = b+m
Ta có : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{á}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=\dfrac{b}{b}+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)
Ta có : \(\dfrac{m}{b}\ge\dfrac{m}{b+m}\)( vì m \(\in\) N, 0 < b < b + m )
=> \(\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)
=> \(1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m+b}{m+b}\)
=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge1+1\)
=>\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
=> đpcm
Gọi phân số cần tìm là \(\dfrac{a}{b}\)
\(\\
\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo của số đó là \(\dfrac{b}{a}\) .
Do là phân số dương nên \(a;b\) cùng dấu hay \(a.b>0\)
Giả sử ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\\\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\\ \Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\\ \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\\ \Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right).\left(a-b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì \(\left(a-b\right)\) luôn lớn hơn 0
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.
