Question

Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a^2 + b^2 ≥ 1/2

Answer 1

Giải:

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy ...

Answer 2

Cách khác :

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :

( a² + b²)( 1² + 1²) ≥ ( a + b)²

⇒ a² + b² ≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = \(\dfrac{1}{2}\)

Answer 3

Ta co : \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)

Ma \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)

Cộng vế với vế các bdt cùng chiều (1) và (2) ta được

\(a^2+b^2\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)