Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(a^2+\dfrac{1}{4}\ge2\sqrt{a^2.\dfrac{1}{4}}=a\)
cmtt ta có
\(b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\)
cộng từng vế của BĐt trên ta có
\(a^2+b^2+\dfrac{1}{2}\ge a+b\)
⇔ \(a^2+b^2+\dfrac{1}{2}\ge1\)
⇔ \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Vì a+b=1 nên
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
cách khác ta có thể Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
\(\left(a+b\right)^2=\left(a.1+b.1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của mình mới đúng nè:
Ta có: \(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=2ab+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Mà a+b=1 nên;
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)
