Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hày Cưi

Chứng minh rằng \(n^5+1999n+2017\) (n∈Z) không phải là số chính phương

Akai Haruma
30 tháng 11 2018 lúc 19:44

Lời giải:

Sửa đề thành \(n\in\mathbb{N}\), vì nếu $n$ nguyên âm thì biểu thức không nguyên.

Đặt \(A=n^5+1999n+2017=n^5-n+2000n+2017\)

\(=n(n^4-1)+2000n+2017\)

\(=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2017\)

--------------

Ta biết đến tính chất rất quen thuộc là một số chính phương chia $5$ thì dư $0,1$ hoặc $4$

Nếu \(n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n\equiv 0\pmod 5\) (do $5$ là snt)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n^2-1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Tóm lại \(n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow A=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2015+2\) chia $5$ dư $2$. Do đó $A$ không thể là scp vì scp chia $5$ dư $0,1$ hoặc $4$

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Angela jolie
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Huyền
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Hara Nisagami
Xem chi tiết
Nguyễn Quang Huy
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết