Question

Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm

A) x^2 + 2xy+2y^2 + 2y+1

B) 9b^2 - 6b + 4c^2 + 1

C) x^2 + y^2 +2x +6y+10

Answer 1

a) \(x^2+2xy+2y^2+2y+1\)

\(=x^2+2xy+y^2+y^2+2y+1\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge0\)

Vậy đa thức trên chỉ nhận giá trị không âm.

b) \(9b^2-6b+4c^2+1\)

\(=\left[\left(3b\right)^2-2.3b.1+1\right]+4c^2\)

\(=\left(3b-1\right)^2+\left(2c\right)^2\ge0\)

Vậy đa thức trên chỉ nhận giá trị không âm.

c) \(x^2+y^2+2x+6y+10\)

\(=x^2+y^2+2x+6y+1+9\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2.y.3+3^2\right)\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\)

Vậy đa thức trên chỉ nhận giá trị không âm.