Đặt b+c-a=2x; c+a-b=2y; a+b-c=2z
hay \(a=y+z;b=x+z;c=x+y\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b+c-a}{2}\\y=\dfrac{c+a-b}{2}\\z=\dfrac{a+b-c}{2}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cosi, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)
\(\Leftrightarrow abc\ge8\cdot\dfrac{b+c-a}{2}\cdot\dfrac{c+a-b}{2}\cdot\dfrac{a+b-c}{2}\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)(đpcm)
Ta có: \(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\);
\(\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\);
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\).
Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0 ta có:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Mở rộng: Nếu a, b, c là các số thực không âm thì bđt đó vẫn đúng.
