Question

Chứng minh: \(\left(C^0_n\right)^2+\left(C^1_n\right)^2+...+\left(C^n_n\right)^2=C^n_{2n}\)

Answer 1

Lời giải:

Theo khai triển New-ton:

Xét \((x+1)^{2n}=C^0_{2n}+C^1_{2n}x+...+C^n_{2n}x^n+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)

Như vậy, \(C^n_{2n}\) là hệ số của $x^n$ trong khai triển \((x+1)^{2n}\)

Mặt khác:

\((x+1)^{2n}=(x+1)^n.(x+1)^n=(\sum_{n}^{i=0}C^k_nx^{n-k})(\sum_{n}^{i=0}C^{k}_nx^k)\)

\(=(C^0_nx^n+C^1_nx^{n-1}+C^2_nx^{n-2}+...+C^n_n)(C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^n_nx^n)\)

Hệ số của $x^n$ trong khai triển này là:

\((C^0_n)^2+(C^1_n)^2+....+(C^n_n)^2\)

Do đó \((C^0_n)^2+(C^1_n)^2+....+(C^n_n)^2=C^n_{2n}\) (đpcm)