ta có : \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2\)
=\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}-\dfrac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{9}\)
=\(\dfrac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx}{9}\)
=\(\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{9}\ge0\)
Vậy suy ra ĐPCM và dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z\)
\(\dfrac{x^2+y^2}{z}\ge\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2\)
Cho x,y,z là các số dương. CMR:
a) (x+y+z)(\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}\)) ≥\(\dfrac{9}{2}\)
b) (x+y+z+t)(\(\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{1}{y+z+t}+\dfrac{1}{z+t+x}+\dfrac{1}{t+x+y}\)) ≥\(\dfrac{16}{3}\)
c) \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) ≥\(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Cho x + y+z =0
a, Tính \(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
b, Tính \(\left(\dfrac{x}{y}+1\right)\left(\dfrac{y}{z}+1\right)\left(\dfrac{z}{x}+1\right)\)
c, \(\dfrac{1}{y^2+z^2-z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2-y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2-z^2}\)
cho các số x, y, z thỏa mãn x+y+z=\(\dfrac{3}{2}\) . chứng minh rằng x^2+y^2+z^2≥\(\dfrac{3}{4}\)
1. Chứng minh rằng:
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\cdot\left(x+y+z\right)\)
2. Cho a,b,c,d,e là các số thực, chứng minh rằng:
a) \(a^2+b^2+1\ge a\cdot b+a+b\)
b) \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\cdot\left(b+c+d+e\right)\)
3. Cho a,b,c thỏa mãn:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
Tính giá trị biểu thức: \(A=\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\)
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a) \(A=x\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-7\right)\)
b) \(A=\dfrac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}\)
5. Cho \(x+y+z=3\)
a) Tìm GTNN của \(A=x^2+y^2+z^2\)
b) Tìm GTLN của \(B=xy+yz+xz\)
1. Cho x+y+z = 1, chứng minh x2 + y2 + z2 \(\ge\) \(\dfrac{1}{3}\)
2. Giải bất phương trình sau:
\(\left|x^2-x+2\right|-3x-7>0\)
3. Tìm x biết : \(\left(9-x^2\right)^2-12x=1\)
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)
b) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với \(x>0,y>0\)
1) Giải phương trình \(\left|x-2015\right|^{2015}+\left|x-2106\right|^{2016}=1\)
2) Tìm cặp số nguyên tố (x;y) là nghiệm của phương trình : \(x^2-2y^2-1=0\)
3) Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^{2016}}{b+c-a}+\dfrac{b^{2016}}{c+a-b}+\dfrac{c^{2016}}{a+b-c}\ge a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\)
4) Cho x;y;z là các số nguyên thỏa mãn:\(x+y+z=4\)
CMR:\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge x^3y^3z^3\)
giúp với mn,mai thi rồi ( giúp được câu nào hay câu đó),thanks
Chứng minh rằng:
\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\left(\forall x,y,z>o\right)\)
