Question

Chứng minh:

\(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}< 0\)

với mọi x

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}\)

= \(\dfrac{-\left(x^2-4x+4\right)-6}{x^2+1}\)

= \(\dfrac{-\left(x-2\right)^2-6}{x^2+1}\)

Mà -(x-2)² \(\le\) 0 <=> -(x - 2)² -6 \(\le\) 6 < 0

Và x² \(\ge\) 0 <=> x² +1 \(\ge\) 1 > 0

=> Ta thấy phân số đó có tử bé hơn 0 và mẫu lớn hơn 0

=> Phân số đó là phân số âm

Hay \(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}\) < 0 với mọi x

Answer 2

vì \(x^2\ge0\) nên \(x^2+1\ge1>0\) (1)

\(-x^2+4x-10=-\left(x-2\right)^2+\dfrac{24}{-4}\le-6< 0\)(2)

từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{-x^2+4x-10}{x^2+1}< 0\)(đpcm)