Question

Chững minh bất đẳng thức 

abc\(\ge\) (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Answer 1

Ta có : 

(b+c-a)(b+a-c)=b²-(c-a)²\(\le\) b²

(c+a-b)(c+b-a)=c^2_(a-b)²\(\le\) c²

(a+b-c)(a+b-c)=a²-(b-c)²\(\le\) a²

nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ,ta được :

[(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]²\(\le\) [abc]²

các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên :

(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\(\le\) abc

dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Answer 2

đặt b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z thì x,y,z>0

theo bất đẳng thức (x+y)(y+z)(z+x)\(\ge\) 8xyz

=> 2a.2b.2c\(\ge\) 8(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=>abc \(\ge\) (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

xảy ra đẳng thức khi và chỉ khí a=b=c