Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Tuấn Khải

chứng minh bằng phương pháp quy nạp \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 9 2019 lúc 15:00

Với \(n=1\Rightarrow1< 2\sqrt{1}\) (đúng)

Với \(n=2\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}< 3\) (đúng)

Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}< 2\sqrt{k}\)

Ta cần chứng minh \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}< 2\sqrt{k+1}\)

Thật vậy, ta có:

\(VT=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}< 2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)

\(VT< \frac{2\sqrt{k\left(k+1\right)}+1}{\sqrt{k+1}}< \frac{k+k+1+1}{\sqrt{k+1}}=2\sqrt{k+1}\) (đpcm)

Vậy ....

P/s: \(2\sqrt{k\left(k+1\right)}< k+\left(k+1\right)\) theo BĐT Cô-si


Các câu hỏi tương tự
nguyễn minh
Xem chi tiết
Lil Bitch
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
Hoa Trần Thị
Xem chi tiết
Hoa Trần Thị
Xem chi tiết
Nguyen trAn linh chi
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết