\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c tm abc=64 ta có: \(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Có: \(\sqrt[3]{abc}=4\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge\sqrt[3]{abc}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Giải thích giúp mình dấu \(\Leftrightarrow\) thứ 2 với ạ !
HELP! Chứng minh
a, \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
b, \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)
cho 2 số a,b thỏa mãn a+b\(\ge\)0. Chứng minh rằng \(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\left(a^5+b^5\right)\le4\left(a^9+b^9\right)\)
1.Cho x, y \(\ge\)0 và x+ y=1
Chứng minh rằng : \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2. Cho \(a,b,c\ge0\).Chứng minh rằng:
a, \(a^3+b^3>ab\left(a+b\right)\)
b, \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+ b^2c+c^2a\)
3. Cho x+ y+ z=3 và x, y, z>0. Chứng minh rằng:
a, \(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
b, \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng vói mọi số thực a , b ,c có : ( a ^ 4 + b ^ 4 ) ≥ a^3b + ab^ 3
b) a ^ 2 + b^ 2 + c^ 2 ≥ ab + bc + ca
Cho a , b , c > 0 . Chứng minh rằng
\(\dfrac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\dfrac{8}{\left(b+c\right)^2+4abc}+\dfrac{8}{\left(c+a\right)^2+4abc}+a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{8}{a+3}+\dfrac{8}{b+3}+\dfrac{8}{c+3}\)
Với a,b,c≥0 và x,y,z>0. Chứng minh \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn: \(a\ge c;b\ge c\)
Chứng minh rằng:
\(\sqrt{c.\left(a-c\right)}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
cho ba số dương a,b,c .Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^2\left(b+a\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
