Ta có:
\(A=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\)
\(\Rightarrow A=\left(100a+10b+c\right)+\left(100b+10c+a\right)+\left(100c+10a+b\right)\)
\(\Rightarrow A=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b\)
\(\Rightarrow A=\left(100a+10a+a\right)+\left(100b+10b+b\right)+\left(100c+10c+c\right)\)
\(\Rightarrow A=111a+111b+111c\)
\(\Rightarrow A=111\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow A=37.3\left(a+b+c\right)\)
Giả sử \(A\) là số chính phương thì \(A\) phải chứa thừa số nguyên tố \(37\) mũ chẵn nên:
\(3\left(a+b+c\right)⋮37\)
\(\Rightarrow a+b+c⋮37\)
Điều này không xảy ra vì \(1\le a+b+c\le27\)
Vậy \(A=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\) không là số chính phương (Đpcm)
