- Gọi độ dài các cạnh của đa giác trên là:\(a_1,a_2,...,a_n\left(cm\right)\left(a_1< a_2< ...< a_n\right)\left(n\in N\cdot,n>2\right)\)
- Vì độ dài các cạnh của đa giác trên lập thành 1 cấp số cộng nên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a_n=a_1+\left(n-1\right)d\\a_1+a_2+...+a_n=na_1+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}d\end{matrix}\right.\)
Mặt khác, theo đề bài ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a_n=15\left(cm\right)\\d=3\\a_1+a_2+...+a_n=45\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1+3\left(n-1\right)=15\left(1\right)\\na_1+\dfrac{3n\left(n-1\right)}{2}=45\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow na_1+3n\left(n-1\right)=15n\left(3\right)\)
Lấy \(\left(3\right)-\left(2\right)\), ta được: \(\dfrac{3n\left(n-1\right)}{2}=15n-45\)
\(\Leftrightarrow3n^2-3n+90-30n=0\)
\(\Leftrightarrow n^2-11n+30=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=6\\n=5\end{matrix}\right.\)
*Với \(n=6\). Từ (1) ta có: \(a_1=15-3\left(n-1\right)=15-3\left(6-1\right)=0\) (loại)
*Với \(n=5\). Từ (1) ta có: \(a_1=15-3\left(n-1\right)=15-3\left(5-1\right)=3\left(cm\right)\)
Vậy số cạnh của đa giác đó là 5.
