Xét \(\Delta MNPcó:\)
MN>MP(gt)
\(\Rightarrow\widehat{MPN}>\widehat{MNP}\)(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện )(1)
Ta có : \(\widehat{MPN}+\widehat{EPN}=180^0\)(2 góc kề bù )
mà \(\widehat{MPN}< 90^0\)(gt)
\(\Rightarrow\widehat{EPN}>90^0>\widehat{MPN}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat{EPN}>\widehat{MNP}\)
mà \(\widehat{EPN}=\widehat{DFN}\left(\Delta PDE=\Delta FDN\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{PNM}< \widehat{DFN}\)
Xét \(\Delta DFNcó:\)
\(\widehat{DNP}< \widehat{DFN}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow DF< DN\)(tc quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
mà DP=DF(do \(\Delta PDE=\Delta FDN\))
\(\Rightarrow\)DP<DN(đpcm)
a) Xét tam giác MDN và tam giác MDE có:
ME = MN
\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\left(\text{do MD là p/g}\right)\)
MD cạnh chung
Suy ra tam giác MDN = tam giác MDE
b) Gọi giao điểm MD và NE là O.
Ta cần chứng minh: MO vuông góc với NE và OE = ON
Thật vậy dễ c/m tam giác EMO = tam giác NMO (c.g.c)
Suy ra OE = ON (1) và góc EOM = góc EON, mà nó kề bù suy ra góc EOM = góc EON = 90o (2).Từ (1) và (2) suy ra MD là trung trực NE.
Còn lại chưa nghĩ ra
C tí nữa mình làm cho chung vs câu đ. Giờ đang nghỉ câu d
c)Theo kết quả câu a suy ra ED = DN và góc DNM = góc DEM hay góc DNF = góc DEP
Xét tam giác NFD và tam giác EPD:
Góc DNF = góc DEP
ED = DN (CMT)
Góc D1 = góc D2 (đối đỉnh)
Suy ra tam giác NFD = tam giác EPD (g.c.g)
*Chứng minh NE // FP (nối P với F giúp mình -_-")
Do tam giác NFD = tam giác EPD suy ra PE = FN (1)
Mặt khác theo đề bài ME = MN tức là MP + PE = MF + FN (2) và tam giác MEN cân tại đỉnh M \(\Rightarrow\widehat{MEN}=\frac{180^o-\widehat{M}}{2}\)(3)
Từ (1) và (2) suy ra MP = MF suy ra tam giác MPF cân tại đỉnh M \(\Rightarrow\widehat{MPF}=\frac{180^o-\widehat{M}}{2}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra góc MEN = góc MPF . Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra NE // FP
d) Chưa nghĩ ra
d) Có \(\Delta NFD=\Delta EFD\:\Rightarrow ED=DN\)
Ta thấy \(\widehat{DPE}\) là góc tù => \(\widehat{PED}\) là góc nhọn
=> \(\widehat{DPE}\) > \(\widehat{PED}\)
=> DE > PD mà ED = DN
=> DN > DP
Dùng hình của tth luôn nhá.
Do \(\Delta EDP=\Delta NDF\) nên \(ED=DN\Rightarrow\Delta EDN\) cân tại D.
Mà DO là đường trung trực ứng với cạnh đáy nên đồng thời là đường phân giác.
\(\Rightarrow\widehat{EDO}=\widehat{NDO}\Rightarrow\widehat{MDF}=\widehat{PDM}\left(đ.đ\right)\)
Khi đó \(\Delta MDP=\Delta MDF\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow PM=MF\)
\(\Rightarrow F\) nằm giữa M và N vì \(MP< MN\).
Theo tính chất góc ngoài,ta có:
\(\widehat{DFN}=\widehat{DMF}+\widehat{FMD}\)
\(\Rightarrow\widehat{DFN}>\widehat{MDF}\Rightarrow\widehat{DFN}>\widehat{MDP}\)
Mà \(\widehat{MDP}=\widehat{DMN}+\widehat{DNM}\Rightarrow\widehat{MDP}>\widehat{FND}\)
\(\Rightarrow\widehat{FND}< \widehat{DFN}\Rightarrow DF< DN\Rightarrow DP< DN\left(đpcm\right)\)
Oh my god, cuối cùng cũng nghĩ ra cách giải đơn giản rồi 
nhưng đúng hay không lại là một chuyên khác 
Cầu mong cho nó đúng :(( Lời giải như sau:
d) Từ kết quả câu a, ta có DN = DE (hai cạnh tương ứng)
Bài toán quy về so sánh DE và DP. Thật vậy xét tam giác DEP theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện ta chỉ cần so sánh góc DPE và góc PED.
Dễ thấy P nằm giữa M và E (ez to prove)
Theo tích chất góc ngoài của Có: \(\widehat{DPE}=\widehat{M_1}+\widehat{MDP}\) (1)
Lại có: \(\widehat{PED}< \widehat{MEN}=\widehat{MPF}< \widehat{MPD}< \widehat{M_1}+\widehat{MDP}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DPE}>\widehat{PED}\Leftrightarrow DE>PD\Leftrightarrow DN>DP\)
