Bài 1: Phân thức đại số.

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nhã Khiêm Nguyễn

cho\(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\).

Cm:\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{b+2c^2}\)+\(\dfrac{c^2}{c+2a^2}\)\(\ge\)1

Anh Khương Vũ Phương
9 tháng 5 2018 lúc 23:13

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki dạng phân thức có

\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+2b^2+b+2c^2+c+2a^2}=\dfrac{9}{3+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki có:

\(\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow3\ge a^2+b^2+c^2\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le6\) (2)

Thay (2) vào (1) có \(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{9}{3+6}=1\) (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a= b=c=1


Các câu hỏi tương tự
Nhã Khiêm Nguyễn
Xem chi tiết
Ánh Vũ Ngọc
Xem chi tiết
Trần Đức Mạnh
Xem chi tiết
Yuri
Xem chi tiết
hgf
Xem chi tiết
Phương Thảo
Xem chi tiết
susan gilengel
Xem chi tiết
Sarah
Xem chi tiết
Taehyung Kim
Xem chi tiết