Question

-cho\(\Delta ABC\); \(\widehat{A}=70^0\) ,đường phân giác góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại I .trên cung nhỏ AC lấy điểm F;cung nhỏ AB lấy điểm E. Nối IF cắt BC tại N; Nối IE cắt BC tại M.

a) tính\(\widehat{BIC}=?\)

b) CMR:tứ giác MNFE nội tiếp

Answer 1

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

Ta có:

\(\widehat{A}\) nội tiếp chắn cung nhỏ BC \(\Rightarrow\widehat{A}=\dfrac{1}{2}sđBC\Rightarrow sđBC=2\widehat{A}=140^o\)

\(\widehat{BIC}\) nội tiếp chắn cung lớn BC

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=\dfrac{1}{2}sđBC\Rightarrow sđBC=2\widehat{BIC}\)

Ta có:

\(2\widehat{A}+2\widehat{BIC}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=\dfrac{360^o-2\widehat{A}}{2}\) = \(\dfrac{360^o-140^o}{2}=110^o\)

b/ Xét (O) có:

\(\widehat{FNC}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{FNC}=\dfrac{sđFC+sđBI}{2}\)

Mà cung BI=cung IC (vì AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) )

\(\Rightarrow\widehat{FNC}=\dfrac{sđFC+sđIC}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{FNC}=\dfrac{1}{2}sđFI\left(1\right)\)

\(\widehat{FEI}\) nội tiếp chắn cung FI

\(\Rightarrow\widehat{FEI}=\dfrac{1}{2}sđFI\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{FNC}=\widehat{FEI}\)

Mà \(\widehat{FNC}+\widehat{FNM}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FEI}+\widehat{FNM}=180^o\)

Xét tứ giác MNFE có: \(\widehat{FEI}+\widehat{FNM}=180^o\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác MNFE nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180^o là tứ giác nội tiếp)

Answer 2

a; ta có \(\Delta\) ABC có BAC = 70^o

mà góc nội tiếp chỉ chắng \(\dfrac{1}{2}\) số đo cung bị chắng

nên góc BAC chắng cung có số đo là 70 \(\times\) 2 = 140^o

vậy cung lớn BC = 360 - 140 = 220^o

mà góc BIC chắng \(\dfrac{1}{2}\) cung lớn BC \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2}\) 220 = 110^o

vậy góc BIC = 110^o