Question

Cho x;y;z>0 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=6\)

Tìm GTNN của \(A=x+y^2+z^3\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(6=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\)

\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{xy^2z^3}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{xy^2z^3}\leq 1\Leftrightarrow xy^2z^3\geq 1\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(A=x+y^2+z^3\geq 3\sqrt[3]{xy^2z^3}\geq 3\sqrt[3]{1}=3\)

Vậy \(A_{\min}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\ x=y^2=z^3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)