Question

cho x,y,z là số dương thỏa mãn x²+y²+z²=1

Tìm GTNN của S=\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\)

Tìm min $S=a+b+c$

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\)

Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Answer 2

Lời giải:

Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\)

Tìm min $S=a+b+c$

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\)

Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)