Question

Cho x,y,z là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=8\\xy+yz+zx=4\end{matrix}\right.\)

CMR: \(-\frac{8}{3}\le x,y,z\le\frac{8}{3}\)

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=8\\xy+yz+zx=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=16\)

TH1: \(x+y+z=4\) \(\Rightarrow y+z=4-x\)

\(8=x^2+y^2+z^2\ge x^2+2yz\Rightarrow yz\le\frac{8-x^2}{2}\)

\(xy+yz+zx=4\Leftrightarrow yz+x\left(y+z\right)=4\)

\(\Leftrightarrow4=x\left(4-x\right)+yz\le4x-x^2+\frac{8-x^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow8x-3x^2\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{8}{3}\)

TH2: \(x+y+z=-4\) tương tự ta sẽ chứng minh được \(-\frac{8}{3}\le x\le0\)

\(\Rightarrow-\frac{8}{3}\le x\le\frac{8}{3}\)

Do vai trò của x;y;z là như nhau nên ...