Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn \(y^2+yz+z^2=1-\dfrac{3x^2}{2}\). Tính GTNN và GTLN của \(P=x+y+z\).
Ta có:
\(GT\Leftrightarrow2-3x^2=2\left(y+z\right)^2-2yz\ge2\left(y+z\right)^2-\dfrac{1}{4}.2\left(y+z\right)^2=\dfrac{3\left(y+z\right)^2}{2}\)(AM-GM)
\(\Rightarrow4-6x^2\ge3\left(y+z\right)^2\Leftrightarrow4\ge3\left[2x^2+\left(y+z\right)^2\right]\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky: \(\left(1+2\right)\left[2x^2+\left(y+z\right)^2\right]\ge2\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{Min}=-\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\);\(P_{Max}=\sqrt{2}\)khi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
Đặt a=9+317−−√4a=9+3174 và b=3+17−−√4b=3+174, khi đó a=3ba=3b và a+1=2b2=c=13+317−−√4a+1=2b2=c=13+3174
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu được các bất đẳng thức sau:
x2+b2y2≥2xbyx2+b2y2≥2xby
by2+z2≥2byzby2+z2≥2byz
a(z2+x2)≥2azxa(z2+x2)≥2azx
Đến đây ta cộng vế theo vế các bất đẳng thức thu được để có:
(a+1)(x2+z2)+2b2y2≥2b(xy+yz)+2azx(a+1)(x2+z2)+2b2y2≥2b(xy+yz)+2azxhay c(x2+y2+z2)≥2b(xy+yz+3zx)c(x2+y2+z2)≥2b(xy+yz+3zx)
Từ đó ta thay các giá trị của xy+yz+3zx,bxy+yz+3zx,b và cc để được:
P=x2+y2+z2≥17−−√−32P=x2+y2+z2≥17−32
Cuối cùng, với x=z=117−−√4x=z=1174 và y=1317−−√−5134−−−−−−−−−−√y=1317−5134 (thỏa mãn giả thiết) thì P=17−−√−32P=17−32 nên ta kết luận 17−−√−3217−32 là GTNN của biểu thức P
