Question

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z+\(\sqrt{yz}\)=4.CM

\(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}\)+\(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}\)+\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}\)=8+\(\sqrt{xyz}\)

Answer 1

Bạn ghi sai đề thì phải giả thiết phải là \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

Khi đó suy ra \(4\left(x+y+z\right)+4\sqrt{xyz}=16\)

Ta có: \(x\left(4-y\right)\left(4-z\right)=x[16-4\left(y+z\right)+yz]=x[4\left(x+y+z\right)+4\sqrt{xyz}-4\left(y+z\right)+yz]\)

\(=x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)=x\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)=2x+\sqrt{xyz}\)

tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\\\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\end{matrix}\right.\)

Cộng lại ta được VT\(=\) \(2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)+\sqrt{xyz}\) \(=8+\sqrt{xyz}\)(điều phải chứng minh)