Áp dụng bđt Mincopxki:
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(1+1+1\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(AM-GM:\left(x+y+z\right)^2+9\ge2\sqrt{9\left(x+y+z\right)^2}=6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Cách dùng C-S:
\(VT=\sum\limits_{cyc} \sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2 +3 +2\sum\limits_{cyc} \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}\)
\(\geq \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 +3 +2\sum\limits_{cyc} (xy+1)}\)\(=\sqrt{\left(x+y+z-3\right)^2+6\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cái câu này làm gì thuộc chủ đề HTL trong tam giác vuông :)
P/s: Bị dành mất slot v:
