Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dam thu a

cho x,y>0 thỏa mãn (x+1)(y+1)=4xy. Cmr:

\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 2 2020 lúc 16:45

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)

\(VT=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a+\sqrt{3}.\sqrt{3}\right)^2\le\left(1+3\right)\left(a^2+3\right)\Rightarrow a^2+3\ge\frac{\left(a+3\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{2a}{a+3}+\frac{2b}{b+3}=\frac{4ab+6\left(a+b\right)}{ab+3\left(a+b\right)+9}=\frac{4\left(ab+a+b\right)+2\left(a+b\right)}{ab+a+b+9+2\left(a+b\right)}=\frac{12+2\left(a+b\right)}{12+2\left(a+b\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Thảo Vi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Chiến
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết