Question

Cho x,y và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\). Chứng minh \(\text{xy(x+y)}^2\le\dfrac{1}{64}\)

Answer 1

Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!

Giải:

Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)

Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)