Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quách Nguyễn Sông Trà

Cho x,y là hai số thực thỏa mãn y^3+3y^2+5y+3=11sqrt(9-x^2)-sqrt(9x^4-x^6). Tim giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức T=x-y+2018

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 2 2020 lúc 13:49

ĐKXĐ: \(-3\le x\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^3+2\left(y+1\right)=\left(11-x^2\right)\sqrt{9-x^2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{9-x^2}=a\\y+1=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b^3+2b=\left(2+a^2\right)a=a^3+2a\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3+2\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow\sqrt{9-x^2}=y+1\Rightarrow y=\sqrt{9-x^2}-1\)

\(\Rightarrow T=x-\left(\sqrt{9-x^2}-1\right)+2018=x-\sqrt{9-x^2}+2019\)

Đặt \(A=x-\sqrt{9-x^2}\)

Dễ thấy với \(x>0\Rightarrow A>0\); \(x< 0\Rightarrow A< 0\)

Do đó GTLN xảy ra khi \(x>0\); GTNN xảy ra khi \(x< 0\)

- Với \(x>0\Rightarrow A^2=9-2x\sqrt{9-x^2}\le9\Rightarrow A\le3\)

\(\Rightarrow T_{max}=3+2019=2022\) khi \(x=3\)

- Với \(x< 0\Rightarrow A^2=9-2x\sqrt{9-x^2}=9+2.\left(-x\right)\sqrt{9-x^2}\le9+\left(\left(-x\right)^2+9-x^2\right)=18\)

\(\Rightarrow A\ge-\sqrt{18}=-3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow T_{min}=-3\sqrt{2}+2019\) khi \(-x=\sqrt{9-x^2}\Leftrightarrow x=\frac{-3\sqrt{2}}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Anh Lan
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Khôi Trần
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết