Ta có \(x,y\) là 2 số không âm
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y};\frac{y}{x}\) là 2 số không âm
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm \(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\) ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{x}\) \(\Leftrightarrow x=y\)
Vậy...
Cho \(x\ge3,y\ge2,z\ge1.CMR\)
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\le\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1. cm: \(\frac{x^2+1}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
1/CMR
a/\(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\forall x\in R\)
b/cho \(a\ge0,b\ge2,a+b+c=3\). CMR : \(a^2+b^2+c^2\le5\)
c/cho a,b,c >0 . CMR : \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
2/ cho \(x,y\ge0,x+y=1\). tìm GTLN,GTNN của A =\(x^2+y^2\)
3/ cho x,y>0 .tìm GTNN của B= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
Cho x, y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cho \(x\ge2;x+y\ge3\). Tìm Min\(P=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Cho x, y là số thực thỏa mãn \(x\ge2\); \(x+y\ge3\).
Tìm GTNN của biểu thức: \(T=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)
Cho các số dương x,y,z chứng minh rằng: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)^n+\left(1+\frac{y}{x}\right)^n\ge2^{n+1}\)
