Question

Cho x,y dương thoả mãn:

Mọi người ơi giúp mình với chiều thứ 7 10/3 là cần rồi gấp lắm!!!

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^3\geq x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^3+y^2\geq x^3+y^4+y^2\geq x^3+2\sqrt{y^6}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^3+y^2\geq x^3+2y^3\Leftrightarrow x^2+y^2\geq x^3+y^3(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow (x^2+y^2)(x+y)\geq (x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\)

\(\Leftrightarrow x+y\geq x^2+y^2(3)\)

Theo Bunhiacopxky: \((x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2(4)\)

Từ \((3); (4)\Rightarrow x+y\geq \frac{(x+y)^2}{2}\Rightarrow x+y\leq 2\)

Do đó: \(x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2\Rightarrow \) đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$