Question

Cho x,y > 0. Tìm GTNN của:

a) x² + y² + \(\dfrac{1}{xy}\) ^{với x + y = 2}

^{b) x + y + \(\dfrac{1}{xy}\)}

Answer 1

a ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :

\(x^2+y^2+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{2^2}{4}}=2+1=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy ...

b ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :

\(x+y+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{xy.\dfrac{1}{xy}}=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{xy}\)

\(\Leftrightarrow x^2y=y^2x=1\)

\(\Leftrightarrow x^3y^3=1\Leftrightarrow xy=1\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy ...