Question

Cho \(x\ge1,y\ge1\)

Cmr: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Answer 1

Lời giải:

Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow \frac{y^2+1+x^2+1}{(x^2+1)(y^2+1)}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow (xy+1)(x^2+y^2+2)\geq 2(x^2+1)(y^2+1)\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy+x^2+y^2+2\geq 2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy-2x^2y^2-x^2-y^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2-2xy+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy(x-y)^2-(x-y)^2\geq 0\leftrightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng với mọi $x\geq 1, y\geq 1$. Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $xy=1$ hoặc $x=y\geq 1$