Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Chí Thành

cho x\(\ge\)0 , y\(\ge\)0 và x+y=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

a)S=\(12x^3+16x^2y^2+34xy+12y^3\)

b)A=\(5x^3+12xy+5y^3+4x^2y^2\)

Akai Haruma
4 tháng 7 2019 lúc 17:39

Lời giải:

a)

\(S=12(x^3+y^3)+16x^2y^2+34xy\)

\(=12[(x+y)^3-3xy(x+y)]+16x^2y^2+34xy\)

\(=12(1-3xy)+16x^2y^2+34xy=12+16x^2y^2-2xy\)

\(=(4xy-\frac{1}{4})^2+\frac{191}{16}\geq \frac{191}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ xy=\frac{1}{16}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x,y)=(\frac{2+\sqrt{3}}{4}, \frac{2-\sqrt{3}}{4})\)

Vậy \(S_{\min}=\frac{191}{16}\) khi \(\Leftrightarrow (x,y)=(\frac{2+\sqrt{3}}{4}, \frac{2-\sqrt{3}}{4})\) và có hoán vị.

b)

\(A=5(x^3+y^3)+12xy+4x^2y^2\)

\(=5[(x+y)^3-3xy(x+y)]+12xy+4x^2y^2\)

\(=5(1-3xy)+12xy+4x^2y^2\)

\(=5+4x^2y^2-3xy\)

Áp dụng BĐT Cô-si: $1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

$A=4x^2y^2-3xy+5=xy(4xy-1)-\frac{1}{2}(4xy-1)+4,5=(xy-\frac{1}{2})(4xy-1)+4,5$

Vì $xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow 4xy-1\leq 0; xy-\frac{1}{2}< 0\Rightarrow (xy-\frac{1}{2})(4xy-1)\geq 0$

$\Rightarrow A=(xy-\frac{1}{2})(4xy-1)+4,5\geq 4,5$

Vậy $A_{\min}=4,5$ khi $x=y=\frac{1}{2}$


Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
Phan hải băng
Xem chi tiết
Nguyễn Bảo Nhi
Xem chi tiết
Ngoc Nguyen
Xem chi tiết
Đậu Thị Tường Vy
Xem chi tiết
Bùi Thu Huyền
Xem chi tiết
Lăng
Xem chi tiết
Min
Xem chi tiết
dam quoc phú
Xem chi tiết