Question

Cho \(x>0,y>0\)

CMR: \(\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\)

Answer 1

Do \(x;y>0\) ta biến đổi tương đương:

\(\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2}{\dfrac{x+y}{xy}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2xy}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)