Question

Cho x, y, z > 0. CMR: x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Answer 1

Biến đổi tương đương là ok mà

Ta có; \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

<=> \(2x+2y+2z-2\sqrt{xy}-2\sqrt{yz}-2\sqrt{xz}\ge0\)

<=> \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{xz}+x\right)\ge0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)

( Luôn đúng)

=> đpcm

Dấu = xảy ra <=> \(x=y=z\)