Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ Thùy Trang

CMR với x,y,z dương, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\)

Help me ! T.T

Mysterious Person
23 tháng 8 2018 lúc 6:45

ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{\sqrt{xy}}-\dfrac{1}{\sqrt{yz}}-\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{2}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right) ^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{z}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0\forall x;y;z>0\)

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

Đào Thị Huyền
25 tháng 8 2018 lúc 19:22

áp dụng BĐT côsi ta có

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}=\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{yz}}=\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\)

\(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\)

=> \(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

=> đpcm


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
phạm kim liên
Xem chi tiết
bac luu
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Nguyệt Trần
Xem chi tiết
Tuệ Lâm
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết