Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

:vvv

Cho x, y \(\in R\) thỏa mãn:

\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)

Chứng minh rằng: \(x^3+y^3+3xy=1\)

Lê Thị Thục Hiền
3 tháng 6 2021 lúc 9:14

Gt\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(x-\sqrt{x^2+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+2}+y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=0\) (*)

\(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\left(y-1-\sqrt{y^2-2y+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2}\right).-2=2\left(y-1-\sqrt{y^2+2y+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow y-1-\sqrt{y^2+2y+3}+x+\sqrt{x^2+2}=0\) (2*)

Cộng vế với vế của (*) và (2*) => \(2x+2y-2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)

Bình luận (0)
Yeutoanhoc
3 tháng 6 2021 lúc 9:14

Ta có:`(x+sqrt{x^2+2})(sqrt{x^2+2}-x)=2`

`<=>sqrt{x^2+2}-x=y-1+sqrt{y^2-2y+3}`

`<=>sqrt{x^2+2}-sqrt{y^2-2y+3}=x+y-1(1)`

CMTT:`sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)=x+sqrt{x^2+2}`

`<=>sqrt{y^2-2y+3}-y+1=x+sqrt{x^2+2}`

`<=>sqrt{y^2-2y+3}-sqrt{x^2+2}=x+y-1(2)`

Cộng từng vế (1)(2) ta có:

`2(x+y-1)=0`

`<=>x+y-1=0`

`<=>x+y=1`

`<=>(x+y)^3=1`

`<=>x^3+y^3+3xy(x+y)=1`

`<=>x^3+y^3+3xy=1`(do `x+y=1`)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Lê Thị Khánh Huyền
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Bach Thi Anh Thu
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
Tran Thuy Linh
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết