Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\) thì ta có \(P=8\)
Ta chứng minh nó là GTNN của P
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Đặt \(x+y=t\left(t>2\right)\) thì cần c/m:
\(\dfrac{t^2}{t-2}\ge8\Leftrightarrow\dfrac{t^2-8t+16}{t-2}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(t-4\right)^2}{t-2}\ge0\) (đúng với \(t>2\))
Vậy \(P_{Min}=8\) khi \(x=y=2\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=2x=y=2 thì ta có P=8P=8
Ta chứng minh nó là GTNN của P
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
P=x2y−1+y2x−1≥(x+y)2x+y−2P=x2y−1+y2x−1≥(x+y)2x+y−2
Đặt x+y=t(t>2)x+y=t(t>2) thì cần c/m:
t2t−2≥8⇔t2−8t+16t−2≥0⇔(t−4)2t−2≥0t2t−2≥8⇔t2−8t+16t−2≥0⇔(t−4)2t−2≥0 (đúng với t>2t>2)
Vậy PMin=8PMin=8 khi x=y=2
