Question

Cho tứ giác ABCD có AB+BD≤AC+CD.chứng minh ab<ac

Answer 1

Giải:

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).

Xét tam giác \(A B O\), ta có:
\(O A + O B > A B\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét tam giác \(D C O\), ta có:
\(O C + O D > C D\) (bất đẳng thức tam giác)

Cộng hai bất đẳng thức trên:
\(A C + B D > A B + C D\)

Mà theo giả thiết:
\(A B + B D \leq A C + C D\)

Cộng hai vế bất đẳng thức ta được:
\(2 A C + B D + C D > 2 A B + B D + C D\)

Rút gọn vế trái và vế phải:
\(2 A C > 2 A B\)
Suy ra: \(A C > A B\), hay \(A B < A C\) \(\left(đpcm\right)\).