Question

Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau và bằng a.Gọi E là trung điểm AB,F là điểm thuộc BC sao cho BF=2FC, G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG=2GD.Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng (EFG) với mặt phẳng (ACD) theo a?

Answer 1

Trong mp(BCD) gọi \(I=FG\cap BD\)

Trong mp (ADB) gọi \(H=IE\cap AD\)

Khi đó HG = \(\left(EFG\right)\cap\left(ACD\right)\)

Áp dụng định lí menelaus cho tam giác BCD với 3 giao điểm I,G,F thẳng hàng ta có:

\(\dfrac{ID}{IB}.\dfrac{FB}{FC}.\dfrac{GC}{GD}=1=>\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{1}{4}\)

Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng I,H,E thẳng hàng ta có:

\(\dfrac{HD}{HA}.\dfrac{EA}{EB}.\dfrac{IB}{ID}=1\) => \(\dfrac{HD}{HA}=\dfrac{1}{4}=>HD=\dfrac{a}{5}\)

Xét tam giác HDG:

\(HG^2=HD^2+DG^2-2DH.DG.cos60^o=\dfrac{a^2}{25}+\dfrac{a^2}{9}-\dfrac{a^2}{15}=\dfrac{19a^2}{225}\)

=> HG \(=\dfrac{\sqrt{19}}{15}a\)