Question

cho tam giác nhọn ABC,các đường cao BD,CE cắt nhau ở H. chứng minh rằng

BC²=BH*BD+CH*CE

Answer 1

Lời giải:

Xét tam giác $HEB$ và $HDC$ có:

$\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ (đối đỉnh)

$\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle HEB\sim \triangle HDC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\Rightarrow HE.HC=HB.HD$

Từ kết quả này kết hợp với định lý Pitago:

$BC^2=BE^2+EC^2=HB^2-EH^2+EC^2=HB^2-EH^2+(EH+HC)^2$

$=HB^2+HC^2+2EH.HC=HB^2+HC^2+EH.HC+HB.HD=HB(HB+HD)+HC(HC+EH)$

$=HB.BD+CH.EC$

(đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: