Question

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;
b) Xác định vị trí của D để MN có độ dài ngắn nhất.

Answer 1

a: Ta có: D đối xứng với M qua AB

nên AB là đường trung trực của MD

Suy ra: AM=AD

Xét ΔAMD có AM=AD

nên ΔAMD cân tại A

mà AB là đường trung trực ứng với cạnh đáy MD

nên AB là tia phân giác của \(\widehat{MAD}\)

Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của ND

Suy ra: AN=AD

Xét ΔAND có AN=AD

nên ΔAND cân tại A

mà AC là đường trung trực ứng với cạnh đáy DN

nên AC là tia phân giác của \(\widehat{DAN}\)

Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}\)

\(=2\cdot\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{BAC}\)