Question

Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Vẽ MP vuông góc với AC; MQ vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm của AM.
a)Tứ OPHQ là hình gì? Chứng minh.
b) Xác định vị trí của M trên cạnh BC để độ dài PQ nhỏ nhất.

Answer 1

Answer 2

a. Ta có $AH$ là đường cao tam giác đều $\Delta ABC$ nên $AH$ là phân giác $\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}.60^o=30^o$

$\Delta OPH$ cân tại $O$ (vì $OH=OP$) có $\widehat{O_1}=2\widehat{A_1}=2.30^o=60^o$

Nên $\Delta OPH$ là tam giác đều $\Rightarrow OP=OH=PH(1)$

Tương tự: $\Delta OQH$ là tam giác đều

$\Rightarrow OQ=OH=QH(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OP=PH=HQ=OQ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $OPHQ$ là hình thoi

b. Tứ giác $OPHQ$ là hình thoi

Nên \(OH\perp PQ\) và \(PQ=2.PI\)

\(PQ=2.PI=2.OP.sin\widehat{O_1}=2.\)\(\dfrac{AM}{2}.sin60^o\)\(=AM.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ge AH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (không đổi vì $A,B,C,H$ cố định)

Dấu $"="$ xảy ra \(\Leftrightarrow AM=AH\Leftrightarrow M\equiv H\)

Vậy khi \(M\equiv H\) thì đoạn thẳng $PQ$ có độ dài nhỏ nhất bằng \(AH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Answer 3