a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACK\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{A}:chung\\\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^o\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(ch-gn\right)\)
=> \(BK=CH\) (2 cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta AIC,\Delta BHC\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}:Chung\\\widehat{AIC}=\widehat{BHC}=90^o\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AIC\sim\Delta BHC\left(g.g\right)\)
=> \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{IC}{HC}\)
=> \(HC.AC=IC.BC\left(đpcm\right)\)
c) Ta có : \(AB=AC\left(gt\right)\)
\(BK=CH\left(câu-a\right)\)=> \(AB-BK=AC-CH\)
=> \(AK=AH\)
Thấy : \(\widehat{AKH}=\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
Nên : KH // BC => đpcm
* Cách khác :
Ta suy ra tỉ số : \(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow KH//BC\) (Đlý Ta- lét đảo)
d) BH cắt CK tại M => M là trực tâm của \(\Delta ABC\)
=> AM \(\perp\) BC tại I
Ta có :\(\Delta AIC\sim BHC\left(câu-b\right)\)
=> \(\dfrac{IC}{HC}=\dfrac{AC}{BC}hay\dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC}=\dfrac{b}{a}=>HC=\dfrac{a^2}{2b}\)
=> \(AH=b-\dfrac{a^2}{2b}=\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\)
Mà HK // BC (cmt) => \(\dfrac{HK}{BC}=\dfrac{AH}{AC}=>HK=\dfrac{AH.BC}{AC}\)
=> \(HK=\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\right)=\dfrac{2ab^2-a^3}{2b^2}=a-\dfrac{a^3}{2b^2}\)
